Question

12、（1）以AB為直徑的半圓上，除A、B兩點(diǎn)外，另有6個(gè)點(diǎn)，又因?yàn)锳B上另有4個(gè)點(diǎn)，共12個(gè)點(diǎn)，以這12個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)共能組成多少個(gè)四邊形？
（2）在角A的一邊上有五個(gè)點(diǎn)（不含A），另一邊上有四個(gè)點(diǎn)（不含A），由這十個(gè)點(diǎn)（含A）可構(gòu)成多少個(gè)三角形？
（3）設(shè)有等距離的3條平行線和另外等距離的4條平行線相交，試問以這些交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)是多少？

Answer 1

分析：（1）分類討論：A、B只含有一個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有2（C³₆+C²₆C¹₄），既含A又含B時(shí)，共有C¹₆個(gè)，既不含A也不含B時(shí)，共有C⁴₁₀-1-C³₄C¹₆個(gè)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到共有的個(gè)數(shù)．
（2）本題可以分類來解，當(dāng)所取得三個(gè)點(diǎn)含A點(diǎn)時(shí)，可構(gòu)成C¹₅C¹₄個(gè)三角形，當(dāng)所取得三個(gè)點(diǎn)不含A點(diǎn)時(shí)，可構(gòu)成C²₅C¹₄+C¹₅C²₄個(gè)三角形，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（3）做出從12個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)共有的結(jié)果，注意除了同一平行線上的點(diǎn)不能構(gòu)成三角形以外，還要注意對(duì)角線上的點(diǎn)也不能構(gòu)成三角形．用所有的結(jié)果減去不合題意的結(jié)果，得到共有C³₁₂-（C³₄×3+C³₃×4+4）個(gè)．

解答：解：（1）由題意知本題需要分類討論：A、B只含有一個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有2（C³₆+C²₆C¹₄）=160個(gè)；
既含A又含B時(shí)，共有C¹₆=15個(gè)；
既不含A也不含B時(shí)，共有C⁴₁₀-1-C³₄C¹₆=185個(gè)．
∴共有160+15+185=360個(gè)．
（2）由題意知本題可以分類來解，
含A點(diǎn)時(shí)，可構(gòu)成C¹₅C¹₄=20個(gè)三角形；
不含A點(diǎn)時(shí)，可構(gòu)成C²₅C¹₄+C¹₅C²₄=70個(gè)三角形．
故共有20+70=90個(gè)三角形．
（3）首先做出從12個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)共有的結(jié)果，
注意除了同一平行線上的點(diǎn)不能構(gòu)成三角形以外，還要注意對(duì)角線上的點(diǎn)也不能構(gòu)成三角形．
共有C³₁₂-（C³₄×3+C³₃×4+4）=200個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查構(gòu)成三角形的條件，是一個(gè)綜合題目，注意做題時(shí)做到不重不漏．