Question

（14分）已知f（x）是定義在[—1，1]上的奇函數(shù)，且f （1）=1，若m，n∈[—

1，1]，m+n≠0時有

 

（1）判斷f （x）在[—1，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（2）解不等式:；

 

（3）若f （x）≤對所有x∈[—1，1]，∈[—1，1]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）任取—1≤x₁<x₂≤1，則

f （x₁）—f （x₂）= f （x₁）+f （－x₂）=

∵—1≤x₁<x₂≤1，∴x₁+（－x₂）≠0，

由已知＞0，又x₁－x₂＜0，

∴f （x₁）—f （x₂）＜0，即f （x）在[—1，1]上為增函數(shù)．

（2） ∵f （x）在[—1，1]上為增函數(shù)，故有

（3）由（1）可知：f（x）在[—1，1]上是增函數(shù)，且f （1）=1，故對x∈[—l，1]，恒有f（x）≤1．

所以要使f（x）≤，對所有x∈[—1，1]， ∈[—1，1]恒成立，

即要≥1成立，故≥0成立．

記g（）=對 ∈[—1，1]，g（）≥0恒成立，只需g（）在[—1，1]上的最小值大于等于零．

故

解得：t≤—2或t=0．

【解析】略