Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF₂與橢圓C的另一個交點，∠F₁AF₂＝60°.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)已知△AF₁B的面積為40，求a，b的值．

Answer 1

解　(1)由題意可知，△AF₁F₂為等邊三角形，a＝2c，

所以e＝.

(2)方法一　a²＝4c²，b²＝3c²，

直線AB的方程為y＝－(x－c)，

將其代入橢圓方程3x²＋4y²＝12c²，得B，

所以|AB|＝·＝c.

由S_△AF1B＝|AF₁|·|AB|·sin∠F₁AB＝a·c·＝a²＝40，

解得a＝10，b＝5.

方法二　設(shè)|AB|＝t.因為|AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a.

由橢圓定義|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t，

再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos 60°可得，t＝a.

由S_△AF1B＝a·a·＝a²＝40 知，

a＝10，b＝5.