在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到一條漸近線l的距離為4，若漸近線l恰好是曲線y=x3-3x2+2x在原點(diǎn)處的切線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
 
．
分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，求出在原點(diǎn)處的切線．再根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而代入焦點(diǎn)到漸近線的距離，求得a和b，則雙曲線的漸近線方程可得．
解答：解：f′（x）=3x2-6x+2．設(shè)切線的斜率為k．
切點(diǎn)是原點(diǎn)，k=f′（0）=2，所以所求曲線的切線方程為y=2x．
∵雙曲線的一條漸近線方程是 y=2x，
∴
b
a
=2
又∵
|2c|
22+12
=
|2c|
5
=4
∴c=2
5
，∵c2=a2+b2
∴a2=4  b2=16
∴雙曲線方程為
x2
4
-
y2
16
=1
故答案為
x2
4
-
y2
16
=1．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查運(yùn)算求解能力、推理能力，還考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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