Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax²+（a-2）x，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）． …（1分）
∴． …（3分）
∵f（x）在x=1處取得極值，
即f'（1）=-（2-1）（a+1）=0，
∴a=-1． …（5分）
當(dāng)a=-1時(shí)，在內(nèi)f'（x）＜0，在（1，+∞）內(nèi)f'（x）＞0，
∴x=1是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)．∴a=-1． …（6分）
（Ⅱ）∵a²＜a，∴0＜a＜1． …（7分）
∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，
∴f（x）在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，…（9分）
①當(dāng)時(shí)，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞增，
∴f_max（x）=f（a）=lna-a³+a²-2a； …（10分）
②當(dāng)，即時(shí)，f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
∴； …（11分）
③當(dāng)，即時(shí)，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞減，
∴f_max（x）=f（a²）=2lna-a⁵+a³-2a²． …（12分）
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值是lna-a³+a²-2a；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值是2lna-a⁵+a³-2a²．
…（13分）
分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=1處取得極值，則f'（1）=0，求出a的值，然后驗(yàn)證即可；
（II）先求出a的范圍，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞增，則f_max（x）=f（a），當(dāng)時(shí)，f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，f_max（x）=f（），當(dāng)，即時(shí)，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞減，則f_max（x）=f（a²），從而求出所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是一道綜合題，有一定的難度，屬于中檔題．