Question

若函數(shù)f（x）滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：
①f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；
②在f（x）的定義域內(nèi)存在某個(gè)區(qū)間使得f（x）在[a，b]上的值域是．則我們稱f（x）為“內(nèi)含函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)是否為“內(nèi)含函數(shù)”？若是，求出a、b，若不是，說明理由；
（2）若函數(shù)是“內(nèi)含函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)，其定義域?yàn)閇0，+∞），∴函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
設(shè)在區(qū)間[a，b]上的值域是．
由，解得．
故函數(shù)是“內(nèi)含函數(shù)”，且a=0，b=4．
（2）設(shè)g（x）=，其定義域?yàn)閇1，+∞），且在定義域上單調(diào)遞增．
∵g（x）為“內(nèi)含函數(shù)”，∴存在區(qū)間[a，b]?[1，+∞），滿足，．
即方程在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
也即方程在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令，則其可化為：
，即方程m²-2m+（1-2t）=0有兩個(gè)非負(fù)的不等實(shí)根x₁、x₂．
∴解得．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是．
分析：（1）根據(jù)新定義“內(nèi)含函數(shù)”，要滿足兩條：一是在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，二是在定義域內(nèi)存在某個(gè)區(qū)間[a，b]，且在此區(qū)間上的值域是即可．
（2）若函數(shù)是“內(nèi)含函數(shù)”，其定義域?yàn)閇1，+∞），且在定義域上單調(diào)遞增，滿足第一條；只要t再滿足：存在區(qū)間[a，b]?[1，+∞），滿足，，即可．
點(diǎn)評(píng)：充分理解新定義是進(jìn)行判斷的前提．其關(guān)鍵是看在定義域內(nèi)方程f（x）=x是否存在兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．