Question

（2013•嘉定區(qū)一模）設(shè)復(fù)數(shù)z=（a²-4sin²θ）+（1+2cosθ）i，其中i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)，θ∈（0，π）．若z是方程x²-2x+5=0的一個(gè)根，且z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求θ與a的值．

Answer 1

分析：解實(shí)系數(shù)一元二次方程求得z，得到 

a2-4sin2θ = 1 1+2cosθ = 2

，解方程組求得 θ 和a的值．

解答：解：方程 x²-2x+5=0 的根為 x=1±2i，因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以 z=1+2i，
所以，

a2-4sin2θ = 1 1+2cosθ = 2

，解得 cosθ=

1

2

，因?yàn)?θ∈（0，π），所以，θ=

π

3

．
所以，a²=1+4sin²θ=1+4×

3

4

=4，a=±2．
綜上，θ=

π

3

，a=±2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)值求角，得到

a2-4sin2θ = 1 1+2cosθ = 2

，是解題的關(guān)鍵．