Question

(本題滿分13分)已知點F(1，0)，圓E:，點P是圓E上任意一點，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．

(1)求動點Q的軌跡Γ的方程；

(2)若直線與圓O:相切，并與(1)中軌跡Γ交于不同的兩點A、B．當=，且滿足時，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

(1) ；(2) [，]．

【解析】

試題分析：(1)連接QF，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|= 符合橢圓的定義，于是可根據其焦距與長軸計算出短軸長，從而確定的值，寫出動點Q的軌跡Γ的方程；

(2) 設直線的方程為(),由直線與圓相切確定的關系，設點A、B的坐標(，)、(，)，利用方程組及韋達定理，結合平面向量的數量積，把求△AOB面積S表示成 的函數，最后利用基本不等式或一元二次函數的知識求得 的最大值.

試題解析：【解析】
(1)連接QF，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|=(|EF|=2)，∴點的軌跡是以E(-1，0) 、F(1，0)為焦點，長軸長的橢圓，即動點Q的軌跡Γ的方程為；

(2)依題結合圖形知的斜率不可能為零，所以設直線的方程為()．∵直線即與圓O:相切，∴有：

得．

又∵點A、B的坐標(，)、(，)滿足：

消去整理得，

由韋達定理得，．

其判別式，

又由求根公式有．

∵==

．

．

∵，且∈[，]．

∴∈[，]．

考點：1、橢圓的定義與標準方程；2、直線與圓、直線與橢圓的位置關系綜合應用.