Question

下列幾個(gè)命題
①方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則a＜0．
②函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)．
③函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域?yàn)閇-3，1]．
④設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
⑤設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=2x（1-x），則f(-

5

2

)=-

1

2

其中正確的有

 

（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全寫上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根?

△=(a-3)2-4a＞0 a＜0

，解得即可；
②要使函數(shù)有意義，必需

x2-1≥0 1-x2≤0

，解出即可判斷出；
③函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）是將函數(shù)f（x）的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，即可判斷出．
④舉例f（x）=x，則f（1-x）=1-x，f（x-1）=x-1，即可判斷出；
⑤利用函數(shù)的奇偶性、周期性可得f(-

5

2

)=f(-

1

2

)=-f(

1

2

)，代入計(jì)算即可．

解答： 解：①方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，由判別式及其根與系數(shù)的關(guān)系可得：

△=(a-3)2-4a＞0 a＜0

，解得a＜0，因此正確；
②要使函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

有意義，則

x2-1≥0 1-x2≤0

，解得x=±1．
∴y=0，
可知：此函數(shù)既是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)．
因此②不正確．
③函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域仍然為[-2，2]，因此③不正確．
④設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽，取f（x）=x，則f（1-x）=1-x，f（x-1）=x-1，
則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于y軸不對(duì)稱，因此不正確．
⑤設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=2x（1-x），則f(-

5

2

)=f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=-2×

1

2

(1-

1

2

)=-

1

2

，即f(-

5

2

)=-

1

2

正確．
綜上可知：只有①⑤正確．
故答案為：①⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，屬于中檔題．