Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{1+{{（{-1}）}^x}}}{2}（{x∈z}）$，給出以下三個結(jié)論：①f（x）為偶函數(shù)；②f（x）為周期函數(shù)；③f（x+1）+f（x）=1，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=$\frac{1+（-1）^{x}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為偶數(shù)}\\{0，x為奇數(shù)}\end{array}\right.$，檢驗f（-x）=f（x），即可判斷①，由于f（x）的函數(shù)值是1，0交替出現(xiàn)，故函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，可判斷②，由于x+1，x中必定一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，則f（x+1）與f（x）的值一個是1，一個是0，可判斷③．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+（-1）^{x}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為偶數(shù)}\\{0，x為奇數(shù)}\end{array}\right.$，
∴f（-x）=$\frac{1+（-1）^{-x}}{2}$=$\frac{1+\frac{1}{（-1）^{x}}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為偶數(shù)}\\{0，x為奇數(shù)}\end{array}\right.$=f（x），故f（x）為偶函數(shù)，①正確．
由于f（x）的函數(shù)值是1，0交替出現(xiàn)，故函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，②正確．
由于x+1，x中必定一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，則f（x+1）與f（x）的值一個是1，一個是0，則f（x+1）+f（x）=1，③正確．
∴正確結(jié)論的個數(shù)為：3．
故選：D．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的定義、周期性的定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對已知函數(shù)的化簡，是基礎(chǔ)題．