Question

已知函數f（x）=x+

a

x

+lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）有最值，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a≥2時，若存在x₁、x₂（x₁≠x₂），使得曲線y=f（x）在x=x₁與x=x₂處的切線互相平行，求證：x₁+x₂＞8．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，通分整理后得到f′(x)=

x2+x-a

x2

，然后根據二次三項式x²+x-a對應方程根的情況分析導函數的符號，從而得到原函數的單調性，利用原函數的單調性求得使f（x）有最值的實數a的取值范圍；
（Ⅱ）由曲線y=f（x）在x=x₁與x=x₂處的導數相等得到a=

x1x2

x1+x2

，由已知a≥2得到2（x₁+x₂）≤x₁•x₂，
結合不等式x1•x2＜(

x1+x2

2

)2可證得答案．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=x+

a

x

+lnx，（a∈R），
∴f′(x)=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

，x∈（0，+∞）．
由x²+x-a對應的方程的△=1+4a知，
①當a≤-

1

4

時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上遞增，無最值；
②當-

1

4

＜a≤0時，x²+x-a=0的兩根均非正，
因此，f（x）在（0，+∞）上遞增，無最值；
③當a＞0時，x²+x-a=0有一正根x=

-1+ 1+4a

2

，
當x∈(0，

-1+ 1+4a

2

)時，f′（x）＜0，f（x）在(0，

-1+ 1+4a

2

)上遞減，
當x∈(

-1+ 1+4a

2

，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）在(

-1+ 1+4a

2

，+∞)上遞增．
此時f（x）有最小值．
∴實數a的范圍為a＞0；
（Ⅱ）證明：依題意：1-

a

x12

+

1

x1

=1-

a

x22

+

1

x2

，
整理得：a(

1

x1

+

1

x2

)=1，
由于x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，則有
a=

x1•x2

x1+x2

≥2，
∴2(x1+x2)≤x1•x2＜(

x1+x2

2

)2
∴2(x1+x2)＜(

x1+x2

2

)2，
則x₁+x₂＞8．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．