Question

定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（2）=2，則f（x）在[-3，3]上的最大值為

3

．

Answer 1

分析：先設x₁＜x₂，通過f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）來判斷f（x₂）與f（x₁）的大小關系；得到其單調性，再通過賦值即可得到結論．

解答：解：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，由題意得f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R是增函數；
又∵f（2）=2⇒f（1）+f（1）=f（2）=2f（1）⇒f（1）=1
∴f（3）=f（1）+f（2）=3．
∵f（x）在[-3，6]上是增函數，
∴f（x）_max=f（3）=3
故答案為：3．

點評：本題主要考查了函數奇偶性、單調性的判斷，對于抽象函數奇偶性的判斷一般采取取特殊值的方法．