Question

集合A={x|x²-2ax+4a²-3=0}，B={x|x²-x-2=0}，C={x|x²+2x-8=0}．
（1）是否存在實(shí)數(shù)a使A∩B=A∪B？若存在，試求a的值，若不存在，說明理由；
（2）若∅

?

≠

A∩B，A∩C=∅，求a的值．

Answer 1

分析：（1）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在存在實(shí)數(shù)a使A∩B=A∪B，即A=B．再利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出a的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
（2）解方程得C={-4，2}，根據(jù)題意：“∅

?

≠

A∩B，A∩C=∅”，得2∉A，-1∈A，即可求出a的值．

解答：解：（1）假設(shè)存在存在實(shí)數(shù)a使A∩B=A∪B，即A=B．
由題意得B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，故-1，2是方程x²-2ax+4a²-3=0的兩個(gè)根，
∴

-1+2=2a -1×2=4a2-3

∴a=

1

2

，
（2）解方程x²+2x-8=0，得C={-4，2}，∵∅

?

≠

A∩B，A∩C=∅，∴2∉A，-1∈A，
即x=-1是方程x²-2ax+4a²-3=0的根，且x=2不是此方程的根，
將x=-1代入，得（-1）²+2a+4a²-3=0，
∴a=-1或a=

1

2

．
檢驗(yàn)知a=-1即為所求．

點(diǎn)評：本小題主要考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算、子集與真子集、集合的相等等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．