已知點(diǎn)M為等邊三角形ABC的中心，AB=2，直線l過點(diǎn)M交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，則
BQ
•
CP
的最大值為
-
22
9
-
22
9
．
分析：通過建立直角坐標(biāo)系，利用直線的方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積運(yùn)算和函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答：解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．則A(0，
3
)，B（-1，0），C（1，0），M(0，
3
3
)．
設(shè)直線l的斜率為k，則(-
3
3
≤k≤
3
3
)．則直線l的方程為y=kx+
3
3
．
又直線AC的方程為x+
y
3
=1，直線AB的方程為-x+
y
3
=1．
聯(lián)立
y=kx+
3
3
x+
y
3
=1
，解得Q(
2
3+
3
k
，
1+
3
k
3
+k
)．
同理解得P(
2
3
k-3
，
3
k-1
k-
3
)．
∴
BQ
•
CP
=(
2
3+
3
k
+1，
1+
3
k
3
+k
)•(
2
3
k-3
-1，
3
k-1
k-
3
)=
6k2+22
3k2-9
=2+
40
3k2-9
，
∵0≤k2≤
1
3
．
∴當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，
BQ
•
CP
的最大值為 -
22
9
．
故答案為-
22
9
．
點(diǎn)評：通過建立直角坐標(biāo)系利用直線的方程聯(lián)立得出交點(diǎn)坐標(biāo)及掌握數(shù)量積運(yùn)算和函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線y2=2px（p＞0），焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為直線l，P為拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q．當(dāng)P的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△PQF為等邊三角形．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，交y軸于G．
①若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求證：λ1+λ2為常數(shù)；
②求
GA
•
GB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（
3
，
3
2
），橢圓C左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為E，△EF1F2為等邊三角形．定義橢圓C上的點(diǎn)M（x0，y0）的“伴隨點(diǎn)”為N（
x0
a
，
y0
b
）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C1的方程為（x+2a）2+y2=a2，圓C1和x軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C1上不同于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB交y軸于S，T兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以ST為直徑的圓C2是否經(jīng)過圓C1內(nèi)一定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）直線l交橢圓C于H、J兩點(diǎn)，若點(diǎn)H、J的“伴隨點(diǎn)”分別是L、Q，且以LQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．橢圓C的右頂點(diǎn)為D，試探究△OHJ的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年吉林省白山市高三（上）摸底數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

已知點(diǎn)M為等邊三角形ABC的中心，AB=2，直線l過點(diǎn)M交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，則的最大值為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年吉林省白山市高三（上）摸底數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

已知點(diǎn)M為等邊三角形ABC的中心，AB=2，直線l過點(diǎn)M交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，則的最大值為    ．

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