Question

函數(shù)y=lnx關于直線x=1對稱的函數(shù)為f（x），又函數(shù)y=

1

2

ax2+1(a＞0)的導函數(shù)為g（x），記h（x）=f（x）+g（x）．
（1）設曲線y=h（x）在點（1，h（1））處的切線為l，l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)h（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求過（1，h（1））點的切線方程，根據(jù)l與圓（x+1）²+y²=1相切，利用點線距離等于半徑可求a的值；
（2）先求導函數(shù)，結合函數(shù)的定義域，利用導數(shù)大于0的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導數(shù)小于0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結合區(qū)間[0，1]進行分類討論，從而可求h（x）的最大值．

解答：解：（1）由題意得f（x）=ln（2-x），g（x）=ax，
∴h（x）=ln（2-x）+ax．
∴h′(x)=a+

1

x-2

，過（1，h（1））點的直線的斜率為a-1，
∴過（1，h（1））點的直線方程為y-a=（a-1）（x-1）．
又已知圓心為（-1，0），半徑為1，
由題意得

|1-a+1|

(a-1)2+1

=1，解得a=1．
（2）h′(x)=

ax-2a+1

x-2

=a[x-(2-

1

a

)]•

1

x-2

，x∈(-∞，2)．
∵a＞0，∴2-

1

a

＜2．
令h′（x）＞0，∴x＜2-

1

a

；
令h′（x）＜0，∴2-

1

a

＜x＜2，
所以，(-∞，2-

1

a

)是h（x）的增區(qū)間，(2-

1

a

，2)是h（x）的減區(qū)間．
（3）①當2-

1

a

≤0，即0＜a≤

1

2

時，h（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴h（x）的最大值為h（0）=ln2．
②當0＜2-

1

a

＜ 1，即

1

2

＜a＜ 1時，，h（x）在(0，2-

1

a

)上是增函數(shù)，在(2-

1

a

，1)上是減函數(shù)，
∴當x=2-

1

a

時，h（x）的最大值為h(2-

1

a

)=2a-1-lna．
③當2-

1

a

≥1，即a≥1時，h（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴h（x）的最大值為h（1）=a．
綜上，當0＜a≤

1

2

時，h（x）的最大值為ln2；
當

1

2

＜a＜1時，h（x）的最大值為2a-1-lna；
當a≥1時，h（x）的最大值為a．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，分類討論是解題的關鍵與難點．