【題目】已知函數(shù)f(x)=(x∈(-1,1)),有下列結(jié)論:
(1)x∈(-1,1),等式f(-x)+f(x)=0恒成立;
(2)m∈[0,+∞),方程|f(x)|=m有兩個不等實(shí)數(shù)根;
(3)x1,x2∈(-1,1),若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
(4)存在無數(shù)多個實(shí)數(shù)k,使得函數(shù)g(x)=f(x)-kx在(-1,1)上有三個零點(diǎn)
則其中正確結(jié)論的序號為______.
【答案】(1)(3)(4)
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)是奇函數(shù)即可;
(2)先判斷函數(shù)|f(x)|是偶函數(shù),令m=0可判斷結(jié)論錯誤;
(3)根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可判斷結(jié)論正確;
(4)先判斷函數(shù)g(x)是奇函數(shù),由函數(shù)的表達(dá)式可知x=0是它的一個零點(diǎn),然后討論當(dāng)x∈(0,1)時,函數(shù)一定存在一個零點(diǎn)(),再由奇函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x∈(-1,0)時,一定存在另一個零點(diǎn)(),可判斷結(jié)論正確。
(1)因?yàn)?/span>f(x)=(x∈(-1,1)),
所以f(-x)=
即函數(shù)為奇函數(shù),
所以f(-x)+f(x)=0在x∈(-1,1)恒成立.所以(1)正確;
(2)因?yàn)?/span>f(x)=(x∈(-1,1))為奇函數(shù),
所以|f(x)|為偶函數(shù),
當(dāng)x=0時,|f(0)|=0,
所以當(dāng)m=0時,方程|f(x)|=m只有一個實(shí)根,不滿足題意,所以(2)錯誤.
(3)當(dāng)x∈[0,1)時,f(x)=,
令,x∈[0,1),則t∈(0,1],
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[0,1)單調(diào)遞減,
而函數(shù),在區(qū)間(0,1]單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)=,在區(qū)間[0,1)單調(diào)遞增。
故x∈[0,1)時,f(x)f(0)=0,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù),
所以當(dāng)x∈[-1,0)時,f(x)單調(diào)遞增,且f(x)f(0)=0,
綜上可知,函數(shù)f(x)=在(-1,1)上單調(diào)遞增,
即x1,x2∈(-1,1),若x1≠x2,則一定有f(x1)≠
(4)由g(x)=f(x)-kx=0,即,
當(dāng)x=0時,顯然成立,即x=0是函數(shù)的一個零點(diǎn),
當(dāng)x∈(0,1)時,,解得,令,解得
即()是函數(shù)的一個零點(diǎn),
由于g(-x)= f(-x)+kx=- f(x)+kx=-(f(x)-kx)=- g(x),
即g(x)是(-1,1)上的奇函數(shù),
故在區(qū)間(-1,0)上一定存在()是函數(shù)的另一個零點(diǎn),
所以(4)正確
故(1),(3),(4)正確.
故答案為:(1),(3),(4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象過的(-2,16).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(2m+5)<f(3m+3),求m的取值范圍.
【答案】(1)f(x)=; (2)m<2.
【解析】
(1)將代入可得,從而可得函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)(1)中所求解析式判斷是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù),不等式等價于,解不等式即可得結(jié)果.
(1)∵函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象過點(diǎn)(-2,16),
∴a-2=16
∴a=,即f(x)=,
(2)∵f(x)=為減函數(shù),f(2m+5)<f(3m+3),
∴2m+5>3m+3,
解得m<2.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的解析式和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】2017年APEC會議于11月10日至11日在越南峴港舉行,某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對APEC會議的關(guān)注程度,隨機(jī)選取了100名年齡在[20,45]內(nèi)的市民舉行了調(diào)查,并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分組區(qū)間分布為[20,25),[25.30),[30,35),[35,40),[40,45]).
(1)求選取的市民年齡在[30,35)內(nèi)的人數(shù);
(2)若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談,再從中選取2人參與APEC會議的宣傳活動,求參與宣傳活動的市民中至少有一人的年齡在[35,40)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)f(x)的對稱軸是x=-1,f(x)在R上的最小值是0,且f(1)=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若g(x)=(λ-1)f(x-1)-λx-3在x∈[-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)=1+3x.
(1)求f(x)的解析式并畫出其圖形;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x-).
(1)利用“五點(diǎn)法”,完成以下表格,并畫出函數(shù)f(x)在一個周期上的圖象;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和對稱中心的坐標(biāo);
(3)如何由y=cosx的圖象變換得到f(x)的圖象.
2x- | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
f(x) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知美國蘋果公司生產(chǎn)某款iPhone手機(jī)的年固定成本為40萬美元,每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元.設(shè)蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhone手機(jī)x萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為R(x)萬美元,且R(x)=
(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時,蘋果公司在該款iPhone手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,面積為的正方形中有一個不規(guī)則的圖形,可按下面方法估計的面積:在正方形中隨機(jī)投擲個點(diǎn),若個點(diǎn)中有個點(diǎn)落入中,則的面積的估計值為,假設(shè)正方形的邊長為2, 的面積為1,并向正方形中隨機(jī)投擲個點(diǎn),以表示落入中的點(diǎn)的數(shù)目.
(I)求的均值;
(II)求用以上方法估計的面積時, 的面積的估計值與實(shí)際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率.
附表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時,f(x)=,則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)-的所有零點(diǎn)之和為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】日前,揚(yáng)州下達(dá)了2018年城市建設(shè)和環(huán)境提升重點(diǎn)工程項(xiàng)目計劃,其中將對一塊以O為圓心,R(R為常數(shù),單位:米)為半徑的半圓形荒地進(jìn)行治理改造,如圖所示,△OBD區(qū)域用于兒童樂園出租,弓形BCD區(qū)域(陰影部分)種植草坪,其余區(qū)域用于種植觀賞植物.已知種植草坪和觀賞植物的成本分別是每平方米5元和55元,兒童樂園出租的利潤是每平方米95元.
(1)設(shè)∠BOD=θ(單位:弧度),用θ表示弓形BCD的面積S弓=f(θ);
(2)如果市規(guī)劃局邀請你規(guī)劃這塊土地,如何設(shè)計∠BOD的大小才能使總利潤最大?并求出該最大值.
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