Question

（2013•溫州二模）己知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2．當(dāng)n≥2時(shí)．S_n-1+l，a_n．S_n+1成等差數(shù)列．
（I）求證：{S_n+1}是等比數(shù)列：
（II）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（I）由題意可得2a_n=s_n+s_n-1+2，結(jié)合a_n=s_n-s_n-1可得s_n與s_n-1之間的遞推關(guān)系，進(jìn)而可證明
（II）由（I）可求s_n+1，進(jìn)而可求s_n，然后利用a_n=s_n-s_n-1可求a_n，然后利用錯(cuò)位相減可求T_n

解答：（I）證明：∵S_n-1+l，a_n．S_n+1成等差數(shù)列
∴2a_n=s_n+s_n-1+2…（2分）
∴2（s_n-s_n-1）=s_n+s_n-1+2 即s_n=3s_n-1+2 …（4分）
∴s_n+1=3（s_n-1+1），n≥2…（6分）
∴{s_n+1}是首項(xiàng)為s₁+1=3，公比為3的等比數(shù)列…（7分）
（II）解：由（I）可知sn+1=3n
∴sn=3n-1…（9分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=2•3^n-1
又∵a₁=3
∴an=2•3n-1…（11分）
∴Tn=2+4•3+6•32+…+2(n-1)•3n-2+2n•3^n-1         （1）
3Tn=2•3+4•32+…+(2n-1)•3n-1+2n•3ⁿ   （2）
（1）-（2）得：
-2T_n=2+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-2n•3ⁿ
=

2(1-3n)

1-3

-2n•3ⁿ
=3ⁿ-1-2n•3ⁿ
∴Tn=

(2n-1)•3n+1

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的錯(cuò)位相減求和方法的綜合應(yīng)用