Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，
AB=AD，E是線段PD上的點，F(xiàn)是線段AB上的點，且
（1）判斷EF與平面PBC的關(guān)系，并證明；
（2）當(dāng)λ為何值時，DF⊥平面PAC？并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）作FG∥BC交CD于G，根據(jù)線段間的比例關(guān)系可得 ，PC∥EG，得到平面PBC∥平面EFG，
從而得到EF∥平面PBC．
（2）當(dāng)λ=1時，DF⊥平面PAC．證明∠AFD=∠CAD，AC⊥DF，PA⊥DF，可得 DF⊥平面PAC．
解答：解：（1）作FG∥BC交CD于G，連接EG，則 ，，∴，
∴PC∥EG．又FG∥BC，BC∩PC=C，F(xiàn)G∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG．又EF不在平面PBC內(nèi)，
∴EF∥平面PBC．
（2）當(dāng)λ=1時，DF⊥平面PAC．
證明如下：∵λ=1，則F為AB的中點，又AB=AD，AF=，
∴在 Rt△FAD 與 Rt△ACD中，，
∴∠AFD=∠CAD，∴AC⊥DF，又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAC．
點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，直線與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，判斷λ=1時，DF⊥平面PAC，
是解題的難點．