Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；     
（2）用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖；
（3）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；  
（4）求f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直接求出函數(shù)的周期T，A以及ω，通過(guò)函數(shù)經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn)求出φ，得到函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，通過(guò)列表，描點(diǎn)，連線畫(huà)出函數(shù)的圖象．
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（4）根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）由題意可知，T=

π

2

×2=π，A=2，ω=

2π

T

=2，
∵2sin(2•

2π

3

+φ) =-2，∴φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

所以函數(shù)：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
列表


（3）因?yàn)閥sinx的單調(diào)增區(qū)間為：[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

） 可得
-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
解得  x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
f（x）的單調(diào)增區(qū)間：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
（5）函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）．因?yàn)?x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
因?yàn)?x+

π

6

=kπ，k∈Z所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為：（

kπ

2

-

π

12

，0），k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，五點(diǎn)法作圖，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)圖象的平移伸縮變換，函數(shù)的最值，可以說(shuō)一題概括三角函數(shù)的基本知識(shí)的靈活應(yīng)用，考查計(jì)算能力．