Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）易求f（x-1）+f（x+3）=

-2x，x＜-2 4，-2≤x≤2 2x，x＞2

，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可求f（x-1）+f（x+3）≥6的解集；
（Ⅱ）利用分析法，要證f（ab）＞|a|f（

b

a

），只需證證（ab-1）²＞（b-a）²，再作差證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x-1）+f（x+3）=|x-2|+|x+2|=

-2x，x＜-2 4，-2≤x≤2 2x，x＞2

，
當x＜-2時，由-2x≥6，解得x≤-3；
當-2≤x≤2時，f（x）=4≥6不成立；
當x＞2時，由2x≥6，解得x≥3．
∴不等式f（x-1）+f（x+3）≥6的解集為{x|x≤-3，或x≥3}．              
（Ⅱ）證明：∵|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，
∴要證f（ab）＞|a|f（

b

a

），只需證|ab-1|＞|b-a|，只需證（ab-1）²＞（b-a）²，
而（ab-1）²-（b-a）²=a²b²-a²-b²+1=（a²-1）（b²-1）＞0顯然成立，
從而原不等式成立．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，通過對x范圍的分析討論，去掉絕對值符號，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求最值是關(guān)鍵，考查運算與推理證明的能力，屬于中檔題．