Question

11．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（1-x）+f（1+x）=2，且當x＞1時，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-2}}$，則曲線y=f（x）在x=0處的切線方程是x+y=0．

Answer 1

分析 求出x＜1時函數的解析式，再求出切線斜率，即可求出切線方程．

解答 解：∵定義在R上的函數f（x）滿足f（1-x）+f（1+x）=2，
∴函數f（x）關于（1，1）對稱，
x＜1時，取點（x，y），關于（1，1）的對稱點（2-x，2-y）代入當x＞1時，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-2}}$，可得2-y=$\frac{2-x}{{e}^{-x}}$，
∴y=2-$\frac{2-x}{{e}^{-x}}$，
∴y′=$\frac{x-1}{{e}^{-x}}$，
x=0時，y′=-1，y=0，
∴曲線y=f（x）在x=0處的切線方程是y-0=-（x-0），即x+y=0，
故答案為：x+y=0．

點評 本題考查函數解析式的求解，考查導數的幾何意義，求出函數的解析式是關鍵．