【題目】已知函數(shù)．

討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．

【答案】(1)見解析 (2)見解析

【解析】

先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過討論a的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

由可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極小值和極大值，且，是方程的兩個(gè)正根，則，根據(jù)函數(shù)表示出，令，通過對(duì)求導(dǎo)即可證明結(jié)論．

解：函數(shù)，

，

，當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，有極小值；

當(dāng)時(shí)，，故，

在上單調(diào)遞減，故此時(shí)無極值；

當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不等的正根，．

可得，．

則當(dāng)及時(shí)，

，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ；單調(diào)遞增；

在處有極小值，在處有極大值．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)．

由可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極小值點(diǎn)

和極大值點(diǎn)，且，是方程的兩個(gè)正根，

則，．

；

令，

；，

在上單調(diào)遞減，故，

．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1,在正方形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上,且.若將 分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn),如圖2.

圖1 圖2

(1)求證:平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(α為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換得到曲線C2．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

(1)求C2的普通方程；

(2)設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為，且曲線C3與曲線C2相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1，0)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)有二元關(guān)系，已知曲線.

（1）若時(shí)，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上，求正方形的面積；

（2）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)是，拋物線與軸的交點(diǎn)是，直線與曲線交于，直線與曲線交于，求證直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)是，，可知?jiǎng)狱c(diǎn)在某確定的曲線上運(yùn)動(dòng)，曲線上與上述曲線在時(shí)共有4個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是、、、，集合的所有非空子集設(shè)為，將中的所有元素相加（若只有一個(gè)元素，則和是其自身）得到255個(gè)數(shù)，求所有正整數(shù)的值，使得是一個(gè)與變數(shù)及變數(shù)均無關(guān)的常數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某社區(qū)名居民參加年國慶活動(dòng)，他們的年齡在歲至歲之間，將年齡按、、、、分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值，并求該社區(qū)參加年國慶活動(dòng)的居民的平均年齡（每個(gè)分組取中間值作代表）；

（2）現(xiàn)從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取名進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為，當(dāng)最大時(shí)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為，、、、為圓上點(diǎn)，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，，使得、、、重合，得到四棱錐.當(dāng)該四棱錐體積取得最大值時(shí)，正方形的邊長為______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A（0，1），拋物線C：y2＝ax（a＞0）的焦點(diǎn)為F，連接FA，與拋物線C相交于點(diǎn)M，延長FA，與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若|FM|：|MN|＝1：2，則實(shí)數(shù)a的值為_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，得出如下的結(jié)論：

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；

函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

存在常數(shù)，使對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，

其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.

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