Question

已知函數(shù)f(t)對任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.

(1)若t為正整數(shù)，試求f(t)的表達式.

(2)滿足f(t)=t的所有整數(shù)t能否構成等差數(shù)列？若能構成等差數(shù)列，求出此數(shù)列；若不能構成等差數(shù)列，請說明理由.

(3)若t為自然數(shù)，且t≥4,f(t)≥mt²+(4m+1)t+3m恒成立，求m的最大值.

Answer 1

分析:第（1）問，可通過賦值，建立關于f(t)的遞推關系，再求f(t)；第（2）問，應先求出t∈Z時，f(t)的解析式，再求出f(t)=t的所有整數(shù)解，當可判斷；第（3）問，則可以利用極端原理，將變量m單獨分離，再求其最大值.

解:（1）令x=t,y=1得，y(t+1)=f(t)+f(1)+3t(t+3)+3,即f(t+1)-f(t)=3t²+9t+4.故

f(t)-f(t-1)=3(t-1)²+9(t-1)+4,f(t-1)-f(t-2)=3(t-2)²+9(t-2)+4,f(t-2)-f(t-3)=3(t-3)²+9(t-3)+4,…

f(2)-f(1)=3×1²+9×1+4.將上述t-1個等式相加得，f(t)-f(1)=3［1²+2²+…+(t-1)²］+9［(1+2+…+(t-1)］+4(t-1),∴f(t)=t³+3t²-3(t∈N^*).

（2）由(1),當t∈N^*時，f(t)=t³+3t²-3.又令x=y=0,得f(0)=-3.當t為負整數(shù)時，-t∈N^*時，

f(-t)=-t³+3t²-3.而f(0)=f［t+(-t)］=f(t)+f(-t)+3(-t²)×2+3=-3.此時，f(t)=-f(-t)+6t²-6=t³+3t²-3.綜上所述，t∈Z時，均有f(t)=t³+3t²-3.由f(t)=t得,t³+3t²-3=t,即(t+3)(t+1)(t-1)=0,∴t=-3,-1,1.

    故滿足f(t)=t的所有整數(shù)t能構成等差數(shù)列，所求數(shù)列為-3，-1，1或1,-1，-3.

（3）∵f(t)≥mt²+(4m+1)t+3m,∴f(t)-t≥m(t²+4t+3),

    即(t+3)(t+1)(t-1)≥m(t+3)(t+1),而t為自然數(shù)，且t≥4,∴(t+3)(t+1)＞0,

    故m≤t-1,∵t≥4,∴(t-1)_min=3,故m的最大值為3.

評述：第（1）問求f(t)使用的是累差法.一般地，形如a_n+1-a_n=f(n),且{f(n)}的前n項和可求，則均可用累差法求得a_n.本題是以函數(shù)為載體的，其本質是一個數(shù)列問題：

f(t)-f(t-1)=3(t-1)²+9(t-1)+4類比a_n-a_n-1=3(n-1)²+9(n-1)+4，因此要提升以函數(shù)思想處理數(shù)列問題的能力.