Question

已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），f′（x）沒有零點且圖象是連續(xù)不斷的曲線，又f（x-2012）的圖象關于點（2012，0）對稱．若函數(shù)定義域內的三個值a、b、c足（a+b）（b+c）＞0，（a+b）（c+a）＞0，則f（a）+f（b）+f（c）的值（　�。�

• A、大于零
• B、小于零
• C、等于零
• D、正負都有可能

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：由f（x-2012）的圖象關于點（2012，0）對稱，得到f（x）的圖象關于（0，0）對稱，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由f′（x）沒有零點且圖象是連續(xù)不斷的曲線，得到函數(shù)是單調函數(shù)，由（a+b）（b+c）＞0，（a+b）（c+a）＞0，得到a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0或a+b＜0，b+c＜0，c+a＞0，將每種情況的三個不等式變形，利用函數(shù)的單調性及奇函數(shù)得到不等式，從而得到f（a）+f（b）+f（c）的符號．

解答： 解：∵f（x-2012）的圖象關于點（2012，0）對稱．
∴f（x）的圖象關于（0，0）對稱，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
又f′（x）沒有零點且圖象是連續(xù)不斷的曲線，
∴函數(shù)f（x）是單調函數(shù)，且恒增或恒減．
由（a+b）（b+c）＞0，（a+b）（c+a）＞0，得
a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0或a+b＜0，b+c＜0，c+a＞0．
若a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，且f（x）為增函數(shù)，
∵a+b＞0，
∴a＞-b，
∴f（a）＞f（-b），即f（a）+f（b）＞0，
同理有f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
∴f（a）+f（b）+f（c）＞0；
若a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，且f（x）為減函數(shù)，
∵a+b＞0，
∴a＞-b，
∴f（a）＜f（-b），即f（a）+f（b）＜0，
同理有f（b）+f（c）＜0，f（c）+f（a）＜0．
∴f（a）+f（b）+f（c）＜0．
對于a+b＜0，b+c＜0，c+a＞0同樣分析．
∴f（a）+f（b）+f（c）的值正負都有可能．
故選：D．

點評：利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調性根據(jù)是導函數(shù)大于0函數(shù)單調遞增；導函數(shù)小于0，函數(shù)單調遞減；判斷函數(shù)的奇偶性，應該先求出函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱．是中檔題．