Question

已知直線l：3x+4y-2=0
（Ⅰ）求經過直線l與直線x+3y-4=0的交點P，且垂直于直線x-2y-1=0的方程；
（Ⅱ）求直線l與兩坐標軸圍成的三角形的內切圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯立直線l與直線x+3y-4=0，求出交點P的坐標，根據直線l垂直于直線x-2y-1=0，求出所求直線的斜率，表示出所求直線方程，將P坐標代入求出c的值，即可確定出所求直線方程；
（Ⅱ）對于直線l，分別令x與y為0求出對應y與x的值，利用直角三角形內切圓半徑為兩直角邊之和減去斜邊差的一半求出內切圓半徑，確定出圓心坐標，寫出圓的標準方程即可．

解答：解：（Ⅰ）聯立得：

3x+4y-2=0 x+3y-4=0.

，
解得：

x=-2 y=2

，
∵所求直線與x-2y-1=0垂直，
∴可設所求直線的方程為2x+y+c=0，
把點P的坐標（-2，2）代入得 2×（-2）+2+c=0，即c=2，
則所求直線的方程為2x+y+2=0；
（Ⅱ）對于直線l：3x+4y-2=0，令x=0，得到y(tǒng)=

1

2

；令y=0，得到x=

2

3

，
可得直線l的方程知它在x軸、y軸上的截距分別是

2

3

、

1

2

，
∴直線l與兩坐標軸圍成的三角形的半徑為

1

2

（

2

3

+

1

2

-

5

6

）=

1

6

，圓心坐標為（

1

6

，

1

6

），
則直線l與兩坐標軸圍成三角形的內切圓方程為（x-

1

6

）²+（y-

1

6

）²=

1

36

．

點評：此題考查了圓的標準方程，直線的一般式方程，以及直線的一般式方程與直線垂直的關系，弄清題意是解本題的關鍵．