Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，AD=2AB，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=AD．若E為PC中點，F(xiàn)為線段PD上的點，且PF=2FD．
（1）求證：BE∥平面ACF；
（2）求PC與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）連結(jié)BD交AC于O，取PF中點G，連結(jié)OF，BG，EG，利用EO，EG分別為BG，F(xiàn)C的中位線，得到它們對應(yīng)平行，進而得到平面BEG與平面ACF平行，再由面面平行的性質(zhì)得到線面平行．
（2）要求線面角，需要先找到線面角的代表角，即過C點做面PAD的垂線，因為PA垂直于底面，所以過C作線段AD的垂線與AD交于H，則CH垂直于面PAD，所以角CPH即為線面角的代表角，要求該角的正弦值，就需要求出PC與CH，可以利用△PAC和△ACH為直角三角形通過勾股定理求出，進而得到線面角的正弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)BD交AC于點O，
取PF的中點G，連結(jié)OF，BG，EG，
∵O，F(xiàn)分別是DB，DG的中點，∴OF∥BG，
∵E，G分別是PC，PF的中點，∴EG∥CF，
∴平面BEG∥平面ACF，
又∵BE?平面BEG，
∴BE∥平面ACF． 
（2）∵BC=2AB，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°．
過C作AD的垂線，垂足為H，則CH⊥AD，CH⊥PA，
∴CH⊥平面PAD．
∴∠CPH為PC與平面PAD所成的角．
設(shè)AB=1，則BC=2，AC=

3

，PC=

7

，CH=

3

2

，
∴sin∠CPH=

CH

PC

=

21

14

，即為所求．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．