Question

已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足．求證：
．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，只有單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，；
單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
（3）由（2）知，在恒成立，構(gòu)造函數(shù)來求證不等式。

試題分析：
1） 
 ，   1分
由的判別式，
①當(dāng)即時(shí)，恒成立，則在單調(diào)遞增； 2分
②當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在單調(diào)遞增；   3分
③當(dāng)時(shí)，方程的兩正根為
則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，只有單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，；
單調(diào)遞減區(qū)間為．    5分
（2）即時(shí)，恒成立．
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，滿足條件．  7分
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
則在單調(diào)遞減，
此時(shí)不滿足條件，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．                             9分
（3）由（2）知，在恒成立，
令 ，則  ，     10分
∴．                 11分
又，
∴ ，                      13分
∴ ．                                     14分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。