Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若a是b和c的等差中項，且3sinA=5sinB．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）在a，b之間插入2011個數(shù)，使這2013個數(shù)構(gòu)成以a為首項的等差數(shù)列{a_n}，且它們的和為2013，求c的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正弦定理化簡題中等式，得3a=5b．結(jié)合a是b和c的等差中項，算出a：b：c=5：3：7，利用余弦定理加以計算可得cosC=-

1

2

，即可得出C的大小；
（II）根據(jù)等差數(shù)列求和公式，結(jié)合題意算出a+b=1，結(jié)合（I）的結(jié)論得到a=

5

8

，b=

3

8

，從而得到c=

7

8

．

解答：解：（I）∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，得3a=5b
又∵a是b和c的等差中項，∴2a=b+c，
可得a：b：c=5：3：7
設(shè)a=5x，b=3x，c=7x，由余弦定理，得
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

25x2+9x2-49x2

2•5x•3x

=-

1

2

∵C是三角形的內(nèi)角，∴C=

2π

3

；
（II）根據(jù)題意得：

2013(a+b)

2

=2013
解之得a+b=1
結(jié)合（I）中a：b：c=5：3：7，可得a=

5

8

，b=

3

8

，從而得到c=

7

8

即c的值為

7

8

．

點(diǎn)評：本題著重考查了正余弦定理解三角形、等差數(shù)列的求和公式等知識點(diǎn)，考查了分析計算能力和邏輯思維能力，屬于中檔題．