Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)且對任意n∈N⁺，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=10，a₂=15．
（1）求證：數(shù)列{

bn

}是等差數(shù)列并求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果對任意n∈N⁺，不等式2a•S_n＜2-

bn

an

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得2b_n=a_n+a_n+1，an+12=bnbn+1，進(jìn)一步得an+1=

bnbn+1

，聯(lián)立后可得{

bn

}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列{

bn

}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求得{b_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)合an=

bn-1bn

求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得

1

an

=

2

(n+3)(n+4)

，然后利用裂項(xiàng)相消法求得S_n，代入不等式2aSn＜2-

bn

an

化為4a(

1

4

-

1

n+4

)＜2-

n+4

n+3

，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的函數(shù)分類求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： （1）證明：由已知，得2b_n=a_n+a_n+1     ①，
an+12=bnbn+1    ②，
由②可得an+1=

bnbn+1

    ③，
將③代入①，得對任意n≥2，n∈N^*，有2bn=

bn-1bn

+

bnbn+1

，即2

bn

=

bn-1

+

bn

，
∴{

bn

}是等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{

bn

}的公差為d，由a₁=10，a₂=15，得b1=

25

2

，b₂=18，
∴

b1

=

5 2

2

，

b2

=3

2

，d=

b2

-

b1

=

2

2

，
∴

bn

=

b1

+(n-1)d=

5 2

2

+

2

2

(n-1)=

2

2

(n+4)，bn=

(n+4)2

2

．
由已知，當(dāng)n≥2時，an=

bn-1bn

=

(n+3)(n+4)

2

，而a₁=10也滿足此式．
∴數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式為：an=

(n+3)(n+4)

2

，bn=

(n+4)2

2

．
（2）解：由（1），得

1

an

=

2

(n+3)(n+4)

=2(

1

n+3

-

1

n+4

)，
則Sn=2[(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)]=2(

1

4

-

1

n+4

)=2(

1

4

-

1

n+4

)，
不等式2aSn＜2-

bn

an

化為4a(

1

4

-

1

n+4

)＜2-

n+4

n+3

，
不等式化為（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0，
設(shè)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，則f（n）＜0對任意n∈N^*恒成立．
當(dāng)a-1＞0，即a＞1時，不滿足條件．
當(dāng)a-1=0，即a=1時，滿足條件．
當(dāng)a-1＜0，即a＜1時，函數(shù)f（n）圖象的對稱軸為直線x=-

3(a-2)

2(a-1)

＜0，f（n）關(guān)于n遞減，
只需f（1）=4a-15＜0，解得a＜

15

4

，故a＜1．
綜上可得，a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．