Question

已知f^-1（x）為函數(shù)f（x）=（x≠-1）的反函數(shù)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=1，且f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N^*）．
（I）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（II）已知數(shù)列{b_n}滿足b_n=||，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

證明：（I）函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）=（x≠1）．
∵f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N*），
∴S_n=，即，
∴數(shù)列{}是以1為公差，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列．…（4分）
（II）由（I）知，，即S_n=．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a_n=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1==-，
即a_n= …（6分）
由題意得b_n=…（7分）
∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n=T₁=b₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=2+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）•2ⁿ+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n-2T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+，
即-T_n=（2-n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6，
經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)，T₁的值也符合此公式，
∴對(duì)n∈N*，T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6． …（12分）
分析：（Ⅰ）先由函數(shù)f（x），求得反函數(shù)，再由f^-1（S_n+1）=S_n求得數(shù)列{}是以1為公差，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的定義得證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可計(jì)算得S_n從而計(jì)算得到T_n=2+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，最后由錯(cuò)位相消法求和．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相消法求和等問(wèn)題，屬中檔題，是�？碱愋停�