定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意m＞0，n∈R有f（mn）=nf（m），且當(dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）＜0
（1）求f（1）；
（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞0；
（3）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增．
（1）取m=1，n=2得f（12）=2f（1），
∴f（1）=0
（2）證明：設(shè)x＞1，則0＜
1
x
＜1，又0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，
∴f(
1
x
)＜0
∵m＞0，n∈R有f（mn）=nf（m），
∴f(
1
x
)=f(x-1)=-f(x)＜0
∴f（x）＞0
即x＞1時(shí)，f（x）＞0
（3）證明：∵f（mα+β）=f（mα×mβ）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（mα）+f（mβ），
記mα=x＞0，mβ=y＞0，則f（xy）=f（x）+f（y），
設(shè)0＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
×x2)-f(x2)=f(
x1
x2
)＜0即f（x1）＜f（x2），
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單增．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時(shí)，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數(shù)列{an}中，a1+a2+…a8=（　�。�
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對(duì)任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關(guān)于函數(shù)f（x）判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對(duì)稱，當(dāng)x≥
3π
4
時(shí)，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對(duì)稱，當(dāng)x≥
3π
4
時(shí)，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設(shè)向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　�。�

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同步練習(xí)冊(cè)答案