Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°，則側(cè)棱AA₁和截面B₁D₁DB的距離是

 

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Answer 1

分析：由題意知平面B₁D₁DB垂直于A₁AC₁C，連A₁D，A₁B，A₁C₁，AC，設(shè)A₁C₁交B₁D₁于O₁點(diǎn)，AC交BD于O點(diǎn)，根據(jù)ABCD為正方形可求得BD，進(jìn)而求得A₁O₁，根據(jù)∠A₁AD=∠A₁AB=60求得A₁D和A₁B，進(jìn)而可知A₁D²+A₁B²=B₁D₁²，推斷出△A₁BD為等腰直角三角形，同理可推斷△AO₁O為等腰直角三角形，進(jìn)而求得A₁到OO₁的距離，答案可得．

解答：解：由題意知平面B₁D₁DB垂直于A₁ACC₁
連A₁D，A₁B，A₁C₁，AC
設(shè)A₁C₁交B₁D₁于O₁點(diǎn)
AC交BD于O點(diǎn)
∵ABCD為正方形
∴BD=A₁C₁=2

2

a
∴A₁O₁=

2

a
又∠A₁AD=∠A₁AB=60，
∴A₁D=A₁B=2a
A₁D²+A₁B²=B₁D₁²
則△A₁BD為等腰直角三角形
則A₁O=

2

a=A₁O₁
在△AO₁O中
A₁O=A₁O₁=

2

a
又OO₁=2a
∴△AO₁O為等腰直角三角形
∴A₁到OO₁的距離為a
即側(cè)棱AA₁和平面B₁D₁DB的距離是a
故答案為a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線到面得距離計(jì)算．線到面的距離計(jì)算是立體幾何中常見(jiàn)的題型，應(yīng)強(qiáng)化訓(xùn)練．