Question

設(shè)F₁、F₂為曲線C₁：+=1的焦點(diǎn)，P是曲線C₂：-y²=1與C₁的一個(gè)交點(diǎn)，則△PF₁F₂的面積為________．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線和橢圓的定義可得 PF₁+PF₂=2，PF₁-PF₂=2，△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得
cos∠F₁PF₂=，故 sin∠F₁PF₂=，由△PF₁F₂的面積為 •PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂運(yùn)算
得到結(jié)果．
解答：由曲線C₁：+=1的方程可得 F₁ （-2，0）、F₂ （2，0），再由橢圓的定義可得
PF₁+PF₂=2． 又因曲線C₂：-y²=1 的焦點(diǎn)和曲線C₁ 的焦點(diǎn)相同，再由雙曲線的定義可得
PF₁-PF₂=2．∴PF₁=，PF₂=．
△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得 16=-2（）（）cos∠F₁PF₂ ，
解得 cos∠F₁PF₂=，∴sin∠F₁PF₂=，
△PF₁F₂的面積為 •PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=（ ）（）sin∠F₁PF₂=，
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線和橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出 PF₁=，PF₂=，
sin∠F₁PF₂ 的值，是解題的關(guān)鍵．