科目: 來源:2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
某校從參加某次知識競賽的同學中,選取60名同學將其成績(百分制)(均為整數(shù))分成6組后,得到部分頻率分布直方圖(如圖),觀察圖形中的信息,回答下列問題.
(Ⅰ)求分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;
(Ⅱ)從頻率分布直方圖中,估計本次考試的平均分;
(Ⅲ)若從60名學生中隨機抽取2人,抽到的學生成績在[40,70)記0分,在[70,100]記1分,用X表示抽取結束后的總記分,求X的分布列和數(shù)學期望.
【解析】第一問中設分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖,則有
(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,
第二問平均分為:
第三問學生成績在[40,70)的有0.4×60=24人,
在[70,100]的有0.6×60=36人,并且X的
可能取值是0,1,2.
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科目: 來源:2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知m>1,直線,橢圓C:,、分別為橢圓C的左、右焦點.
(Ⅰ)當直線過右焦點時,求直線的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓C交于A、B兩點,△A、△B的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.[
【解析】第一問中因為直線經(jīng)過點(,0),所以=,得.又因為m>1,所以,故直線的方程為
第二問中設,由,消去x,得,
則由,知<8,且有
由題意知O為的中點.由可知從而,設M是GH的中點,則M().
由題意可知,2|MO|<|GH|,得到范圍
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科目: 來源:2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.
【解析】第一問當時,,則。
依題意得:,即 解得
第二問當時,,令得,結合導數(shù)和函數(shù)之間的關系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設,則,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當時,,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當時,,令得
當變化時,的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
又,,!在上的最大值為2.
②當時, .當時, ,最大值為0;
當時, 在上單調(diào)遞增。∴在最大值為。
綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;
當時,即時,在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設,則,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此。此時,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調(diào)遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上
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科目: 來源:2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知是公差為d的等差數(shù)列,是公比為q的等比數(shù)列
(Ⅰ)若 ,是否存在,有?請說明理由;
(Ⅱ)若(a、q為常數(shù),且aq0)對任意m存在k,有,試求a、q滿足的充要條件;
(Ⅲ)若試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個連續(xù)p項的和式數(shù)列中的一項,請證明.
【解析】第一問中,由得,整理后,可得、,為整數(shù)不存在、,使等式成立。
(2)中當時,則
即,其中是大于等于的整數(shù)
反之當時,其中是大于等于的整數(shù),則,
顯然,其中
、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)
(3)中設當為偶數(shù)時,式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當為偶數(shù)時,式不成立。由式得,整理
當時,符合題意。當,為奇數(shù)時,
結合二項式定理得到結論。
解(1)由得,整理后,可得、,為整數(shù)不存在、,使等式成立。
(2)當時,則即,其中是大于等于的整數(shù)反之當時,其中是大于等于的整數(shù),則,
顯然,其中
、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)
(3)設當為偶數(shù)時,式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當為偶數(shù)時,式不成立。由式得,整理
當時,符合題意。當,為奇數(shù)時,
由,得
當為奇數(shù)時,此時,一定有和使上式一定成立。當為奇數(shù)時,命題都成立
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科目: 來源:2011-2012學年山東省高三下學期模擬沖刺考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么雙曲線的離心率是( )
A. B. C. D.
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科目: 來源:2011-2012學年山東省高三下學期模擬沖刺考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知E,F(xiàn),G,H是空間四點,命題甲:E,F(xiàn),G,H四點不共面,命題乙:直線EF和GH不相交,則甲是乙的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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科目: 來源:2011-2012學年山東省高三下學期模擬沖刺考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù),它們組成一個公差不為0的等差數(shù)列,若,且成等比數(shù)列,則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A. B. C. D.
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