如圖，已知F₁、F₂為雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點，過F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF₁F₂＝30°．求雙曲線的漸近線方程．

設F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點.

（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明.

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角.

（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；

（2）求異面直線AE與CD所成角的大小.

如圖，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）證明：C₁C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC₁=，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（3）當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明.

如圖所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點.

（1）求的長；

（2）求cos< >的值；

（3）求證：A₁B⊥C₁M.

如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos，求四面體ABCD的體積.

四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求證：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱錐P—ABCD的體積；

（3）對于向量a={x₁，y₁，z₁}，b={x₂，y₂，z₂}，c={x₃，y₃，z₃}，定義一種運算：

（a×b）·c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，試計算（×）·的絕對值的值；說明其與四棱錐P—ABCD體積的關系，并由此猜想向量這一運算（×）·的絕對值的幾何意義.

在棱長為a的正方體OABC—O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF.如圖.

（1）求證：A′F⊥C′E.

（2）當三棱錐B′—BEF的體積取得最大值時，求二面角B′—EF—B的大�。ńY果用反三角函數表示）

如圖，以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系O—xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E為VC的中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h.

（1）求cos< >；

（2）記面BCV為α，面DCV為β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED.

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長為a，側棱長為a.

（1）建立適當的坐標系，并寫出點A、B、A₁、C₁的坐標；

（2）求AC₁與側面ABB₁A₁所成的角.