（1）求證：A₁C⊥平面AEF；

（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等．

試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5時(shí)，求平面AEF與平面D₁B₁BD所成角的大小．（用反三角函數(shù)值表示）

⑴求證：PD⊥平面ABCD

⑵求異面直線PB與AC所成的角

⑶求二面角A－PB－D的大小

如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于2．D是BB₁的中點(diǎn)．

①求證A₁C₁∥平面ADC；

②求點(diǎn)C₁到平面ABC的距離．

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC =90°，SA⊥面ABCD，SA =AB =BC =1，．

（Ⅰ）求四棱錐S—ABCD的體積；

    （Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．

【注意：本題的要求是，參照標(biāo)①的寫法，在標(biāo)號(hào)②、③、④、⑤的橫線上填寫適當(dāng)步驟，完成(Ⅰ)證明的全過程；并解答(Ⅱ)．】

如圖：在正三棱柱ABC－A₁ B₁ C₁中，AB==a，E，F分別是BB₁，CC₁上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．

(Ⅰ)求證：面AEF⊥面ACF；

(Ⅱ)求三棱錐A₁－AEF的體積．

(Ⅰ)證明：

①∵ BE=a，CF=2a，BE∥CF，延長(zhǎng)FE與CB延長(zhǎng)線交于D，連結(jié)AD．

∴ △DBE∽△DCF

∴

②_____________________

∴ DB=AB．

③______________________

∴ DA⊥AC

④_______________________

∴ FA⊥AD

⑤_________________________

∴ 面AEF⊥面ACF．

（Ⅰ）證明∠MDC是二面角M－AB－C的平面角；

（Ⅱ）當(dāng)∠MDC =∠CVN時(shí)，證明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC =∠CVN =θ（），求四面體MABC的體積.

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F是垂足．

(1)求證：AF⊥DB；

(2)如果圓柱與三棱錐D－ABE的體積的比等于3π，求直線DE與平面ABCD所成的角．

如圖，已知正四棱柱，點(diǎn)在棱上，截面

∥，且面與底面所成的角為

Ⅰ.求截面的面積；

Ⅱ.求異面直線與AC之間的距離；

Ⅲ.求三棱錐的體積.

如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁．

(Ⅰ)求證：BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數(shù)．

注意：在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容，使之成為(Ⅰ)的完整證明，并解答(Ⅱ)．(右下圖)

(Ⅰ)在截面A₁EC內(nèi)，過E作EG⊥A₁C，G是垂足．

① ∵_(dá)_____________

∴EG⊥側(cè)面AC₁;取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，

② ∵_(dá)_____________

∴BF⊥側(cè)面AC₁;得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC₁于FG．

③ ∵_(dá)______________

∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，

④ ∵_(dá)_____________

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤ ∵_(dá)_______________

∴，即