如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝3，AB＝，E、F分別為AB和A₁D的中點(diǎn)．

(1)求證：AF∥平面A₁EC；

(2)求A₁C與底面ABCD所成角的正切值；

(3)求二面角A₁―EC―D的正切值．

一個(gè)盒子中裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個(gè)定義域均為R的函數(shù)：f₁(x)＝x，f₂(x)＝x²，f₃(x)＝x³，f₄(x)＝sin4x，f₅(x)＝cos5x，f₆(x)＝6．

(1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率；

(2)現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行．求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

已知向量＝()，＝()，＝(－1，0)，＝(0，1)．

(1)求證：⊥(＋)(其中≠kπ)；

(2)設(shè)f()＝·(－)，且∈(0，π)，求f()的值域．

設(shè)f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，且當(dāng)－1≤x＜0時(shí)f(x)＝2x³＋5ax²＋4a²x＋b．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)當(dāng)1＜a≤3時(shí)，求函數(shù)f(x)在(0，1]上的最大值g(a)；

(3)如果對(duì)滿足1＜a≤3的一切實(shí)數(shù)a，函數(shù)f(x)在(0，1]上恒有f(x)≤0，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和S_n＝n²a_n(n≥1)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；

(2)記b_n＝lnS_n，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：_＝n＋1．

已知函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，不等式f(x)＞0的解集為(－)，且曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率為－1．

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知x₁，x₂是任意實(shí)數(shù)，P＝f(x₁)＋f(x₂)，，試比較P與Q的大小，并加以證明．

甲、乙兩個(gè)盒子中裝有大小相同的小球，甲盒中有2個(gè)黑球和2個(gè)紅球，乙盒中有2個(gè)黑球和3個(gè)紅球，從甲乙兩盒中各任取一球交換．

①求交換后甲盒中恰有2個(gè)黑球的概率；

②求交換后甲盒中的黑球沒(méi)有減少的概率．

已知集合，集合N＝{x|mx²－x＞0}，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝ae^x是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，f^－1(x)是它的反函數(shù)．

(1)求曲線y＝f(x)和y＝f^－1(x)的斜率為1的切線方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P，Q分別是兩曲線y＝f(x)，y＝f^－1(x)上的任意一點(diǎn)，求|PQ|上的最小值；

(3)設(shè)點(diǎn)A、B分別是兩曲線y＝f(x)，y＝f^－1(x)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且|AB|是分別在兩條曲線上的點(diǎn)連成線段長(zhǎng)的最小值，求不等式恒成立時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍．

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁＝，前n項(xiàng)和S_n＝n²a_n(n≥1)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；

(2)記b₁＝0，b_n＝(n≥2)，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：0≤T_n＜n－．