給定橢圓，稱圓心在坐標原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是.
（1）若橢圓C上一動點滿足，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為，求P點的坐標；
（3）已知，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.

如圖，曲線C₁是以原點O為中心，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓的一部分．曲線C₂是以O(shè)為頂點，F(xiàn)₂為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點且∠AF₂F₁為鈍角，若|AF₁|＝，|AF₂|＝．

(1)求曲線C₁和C₂的方程；
(2)設(shè)點C是C₂上一點，若|CF₁|＝|CF₂|，求△CF₁F₂的面積．

如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x²＝2py(p>0)上．

(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．

已知頂點在坐標原點，焦點在x軸正半軸的拋物線上有一點A(，m)，A點到拋物線焦點的距離為1．
(1)求該拋物線的方程；
(2)設(shè)M(x₀，y₀)為拋物線上的一個定點，過M作拋物線的兩條互相垂直的弦MP，MQ，求證：PQ恒過定點(x₀＋2，－y₀)．

已知拋物線C：y²＝2px(p>0)過點A(1，－2)．
(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；
(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且·>2(其中O為原點)，求k的取值范圍．

設(shè)圓C與兩圓(x＋)²＋y²＝4，(x－)²＋y²＝4中的一個內(nèi)切，另一個外切．
(1)求C的圓心軌跡L的方程；
(2)已知點M(，)，F(xiàn)(，0)，且P為L上動點，求||MP|－|FP||的最大值及此時點P的坐標．

已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)．
(1)求雙曲線方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0；
(3)求△F₁MF₂的面積．

如圖所示，雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，∠F₁PF₂＝，且△PF₁F₂的面積為2，雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的標準方程．

設(shè)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的上焦點是F₁，過點P(3,4)和F₁作直線PF₁交橢圓于A，B兩點，已知A(，)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)點C是橢圓E上到直線PF₁距離最遠的點，求C點的坐標．