已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點,若A是PB的中點,求直線m的斜率.

已知A,B分別是橢圓C₁:+=1的左、右頂點,P是橢圓上異于A,B的任意一點,Q是雙曲線C₂:-=1上異于A,B的任意一點,a>b>0.
(1)若P（,）,Q（,1）,求橢圓C₁的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k₁,k₂,k₃,k₄,求證:k₁·k₂+k₃·k₄為定值.

已知橢圓C₁的中心在坐標原點,兩個焦點分別為F₁(-2,0),F₂(2,0),點A(2,3)在橢圓C₁上,過點A的直線L與拋物線C₂:x²=4y交于B,C兩點,拋物線C₂在點B,C處的切線分別為l₁,l₂,且l₁與l₂交于點P.
(1)求橢圓C₁的方程;
(2)是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P?若存在,指出這樣的點P有幾個(不必求出點P的坐標);若不存在,說明理由.

如圖所示,已知圓C與y軸相切于點T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點M,N(點M在點N的右側(cè)),且|MN|=3,已知橢圓D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且過點（,）.

(1)求圓C和橢圓D的方程;
(2)若過點M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A、B兩點,求證:直線NA與直線NB的傾斜角互補.

已知橢圓E:+=1(a>b>0),以拋物線y²=8x的焦點為頂點,且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.

已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-,0),(,0),離心率是.直線y=t與橢圓C交于不同的兩點M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標;
(3)設Q(x,y)是圓P上的動點,當t變化時,求y的最大值.

如圖,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點,=4.

(1)求該橢圓的標準方程;
(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′,過P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對應的圓Q的標準方程.

在平面直角坐標系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.
(1)求圓心P的軌跡方程;
(2)若P點到直線y=x的距離為,求圓P的方程.

已知橢圓C₁:+=1(a>b>0)的右頂點為A(1,0),過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1.

(1)求橢圓C₁的方程;
(2)設點P在拋物線C₂:y=x²+h(h∈R)上,C₂在點P處的切線與C₁交于點M,N.當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時,求h的最小值.

如圖,已知拋物線C₁:x²+by=b²經(jīng)過橢圓C₂:+=1(a>b>0)的兩個焦點.

(1)求橢圓C₂的離心率;
(2)設點Q(3,b),又M,N為C₁與C₂不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C₁上,求C₁和C₂的方程.