已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A₁、A₂在x軸上，離心率e=

21

3

的雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（6，6）．
（1）求雙曲線(xiàn)方程．
（2）動(dòng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)△A₁PA₂的重心G，與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)l，使G平分線(xiàn)段MN，證明你的結(jié)論．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的離心率e=

1

2

．直線(xiàn)x=t（t＞0）與曲線(xiàn) E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線(xiàn)段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

已知過(guò)拋物線(xiàn)x²=4y的焦點(diǎn)，斜率為k（k＞0）的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且|AB|=8．
（1）求直線(xiàn)l的方程；
（2）若點(diǎn)C（x₃，y₃）是拋物線(xiàn)弧AB上的一點(diǎn)，求△ABC面積的最大值，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)（-

3

，0），（

3

，0）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E（-1，0）且與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線(xiàn)C的軌跡方程；
（2）若AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-

1

2

，求直線(xiàn)AB的方程；
（3）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說(shuō)明理由．

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線(xiàn)l過(guò)F點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于M點(diǎn)，

MF

=λ

FB

（λ＞0）
（1）若λ=1，求直線(xiàn)l斜率
（2）若點(diǎn)A、B在x軸上的射影分別為A₁，B₁且|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差數(shù)列求λ的值
（3）設(shè)已知拋物線(xiàn)為C1：y²=x，將其繞頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°變成C₁′．圓C2：x²+（y-4）²=1的圓心為點(diǎn)N．已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C₁′上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線(xiàn)，交拋物線(xiàn)C′₁于T，S，兩點(diǎn)，若過(guò)N，P兩點(diǎn)的直線(xiàn)l垂直于TS，求直線(xiàn)l的方程．

已知不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)y²=2x相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求證：直線(xiàn)L過(guò)定點(diǎn)；
②求點(diǎn)E的軌跡方程．

如圖，有一正方形鋼板ABCD缺損一角（圖中的陰影部分），邊緣線(xiàn)OC是以直線(xiàn)AD為對(duì)稱(chēng)軸，以線(xiàn)段AD的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來(lái)，使剩余的部分成為一個(gè)直角梯形．若正方形的邊長(zhǎng)為2米，問(wèn)如何畫(huà)切割線(xiàn)EF，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值．

已知點(diǎn)P（4，4），圓C：（x-m）²+y²=5（m＜3）與橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，直線(xiàn)PF₁與圓C相切．
（1）求m的值；
（2）求橢圓E的方程．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）²+y²=1的點(diǎn)的最小距離．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）已知過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|=8，求|BF|的長(zhǎng)．

橢圓C₁的焦點(diǎn)在x軸上，中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與橢圓C2：

x2

12

+

y2

4

=1的離心率相同，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C₂長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半．A（3，1）為C₂上一點(diǎn)，OA交C₁于P點(diǎn)，P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q點(diǎn)，過(guò)A作C₂的兩條互相垂直的動(dòng)弦AB，AC，分別交C₂于B，C兩點(diǎn)，如圖．

（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求證：B，Q，C三點(diǎn)共線(xiàn)．