給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．
（1）若橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M₁滿足|

M1F1

|+|

M1F2

|=4，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)P（0，t）（t＜0）作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長(zhǎng)為2

3

，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

3

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過(guò)兩點(diǎn)（m，m²），（n，n²）的直線的最短距離dmin=

a2+b2-b

．若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知半橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1(y≥0)和半圓x²+y²=b²（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0；如圖，半橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1(y≥0)內(nèi)切于矩形ABCD，且CD交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)P是半圓x²+y²=b²（y≤0）上異于A，B的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M(

6

3

，-

3

3

)時(shí)，△AGP的面積最大．
（1）求曲線C的方程；
（2）連PC、PD交AB分別于點(diǎn)E、F，求證：AE²+BF²為定值．

過(guò)橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點(diǎn)F₁的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求

AO

•

AF1

的范圍；
（2）若

OA

⊥

OB

，求直線l的方程．

已知兩定點(diǎn)E(-

2

，0)，F(xiàn)(

2

，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

PE

•

PF

=0，由點(diǎn)P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點(diǎn)M滿足

PM

=(

2

-1)

MQ

，點(diǎn)M的軌跡為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若線段AB是曲線C的一條動(dòng)弦，且|AB|=2，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到動(dòng)弦AB距離的最大值．

已知兩點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且這兩條直線的斜率之積為-

3

4

．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，直線PE、PF與圓（x-1）²+y²=r²（0＜r＜

3

2

）相切于點(diǎn)E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R．求△OQR的面積的最大值（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=它（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，離心率為

2

2

．
（它）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的引斜率為k的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)G、H，設(shè)m為橢圓C上一點(diǎn)，且滿足

OG

+

OH

=t

Om

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|

mG

-

mH

|＜

2 5

3

時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍？

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點(diǎn)A為左頂點(diǎn)，點(diǎn)B為上頂點(diǎn)，直線AB的斜率為

3

2

，又直線y=k（x-1）經(jīng)過(guò)橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)且與其相交于點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）將|MN|表示為k的函數(shù)；
（Ⅲ）線段MN的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，又點(diǎn)Q（1，0），求證：

|PQ|

|MN|

為定值．

如圖，設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)為A，短軸端點(diǎn)分別為B、C，另有拋物線y=x²+b．
（Ⅰ）若拋物線上存在點(diǎn)D，使四邊形ABCD為菱形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若a=2，過(guò)點(diǎn)B作拋物線的切線，切點(diǎn)為P，直線PB與橢圓相交于另一點(diǎn)Q，求

|PQ|

|QB|

的取值范圍．

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，過(guò)橢圓G右焦點(diǎn)F的直線m：x=1與橢圓G交于點(diǎn)M（點(diǎn)M在第一象限）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）已知A為橢圓G的左頂點(diǎn)，平行于AM的直線l與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)．判斷直線MB，MC是否關(guān)于直線m對(duì)稱，并說(shuō)明理由．

如圖，A₁、A₂、F₁、F₂分別是雙曲線C：

x2

9

-

y2

16

=1的左、右頂點(diǎn)和左、右焦點(diǎn)，M（x₀、y₀）是雙曲線C上任意一點(diǎn)，直線MA₂與動(dòng)直線l：x=

9

x0

相交于點(diǎn)N．
（1）求點(diǎn)N的軌跡E的方程；
（2）點(diǎn)B為曲線E上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接F₁B交曲線E于另一點(diǎn)D，記四邊形A₁A₂BD對(duì)角線的交點(diǎn)為G，證明：點(diǎn)G在定直線上．