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如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t
（1）若在邊BC上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求a與t關(guān)系；
（2）在（1）的條件下求a的取值范圍；
（3）（理科做，文科不做）當(dāng)邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，求二面角A-PD-Q的余弦值．

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某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，鋪設(shè)一個(gè)對(duì)角線在L上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長(zhǎng)的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長(zhǎng)的材料彎折而成，使A+C=180°，且AB=BC．設(shè)AB=x米，cos A=f（x）．
（1）求f（x）的解析式，并指出x的取值范圍；
（2）求y=

sinA

AB

的最大值，并指出相應(yīng)的x值．

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如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為棱DD₁和AB上的點(diǎn)，則下列說法正確的是

 

．（填上所有正確命題的序號(hào)）
①A₁C⊥平面B₁EF
②在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)總存在與平面B₁EF平行的直線；
③△B₁EF在側(cè)面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值的三角形；
④當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B₁EF截該正方體所得的截面圖形是六邊形；
⑤當(dāng)DE=

2

3

，AF=

1

2

時(shí)，平面B₁EF與棱AD交于點(diǎn)P，則AP=

3

4

．

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如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，下面結(jié)論正確的是

 

（把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上）
①BD₁⊥平面DA₁C₁
②過點(diǎn)B與異面直線AC和A₁D所成角均為60°的有3條直線；
③四面體DA₁D₁C₁與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球半徑之比為

3

3

④與平面DA₁C₁平行的平面與正方體的各個(gè)面都有交點(diǎn)，則這個(gè)截面的周長(zhǎng)為定值．

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