某教師連續(xù)4年擔(dān)任高二年級(jí)信息技術(shù)課，如表是這位老師這門課4年來學(xué)生考試成績(jī)分布，甲、乙二位同學(xué)準(zhǔn)備下學(xué)期選修這位老師的信息技術(shù)課，如果85（包括85）分以上為優(yōu)秀，60分為及格分?jǐn)?shù)線．請(qǐng)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息解決下列問題：

成績(jī)	人數(shù)
90分以上	57
85～89	93
70～84	158
60～69	112
50～59	21
50分以下	9

（1）估計(jì)甲同學(xué)該科成績(jī)優(yōu)秀的概率；
（2）如果事件A發(fā)生與否和事件B發(fā)生的概率無關(guān)，反之，事件B發(fā)生與否和事件A發(fā)生的概率無關(guān)，則稱這兩個(gè)事件為相互獨(dú)立事件．兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于各事件發(fā)生概率的成績(jī)，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，估計(jì)甲同學(xué)及格且乙同學(xué)不及格的概率．

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+

1

x

，g（x）=x²+x-b，y=f（x）圖象恒過定點(diǎn)P，且P點(diǎn)既在y=g（x）圖象上，又在y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象上．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)h（x）=

f(x)

g(x)

，求證：當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＜0．

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x-a

（b＞0），若f（x）＞a+1的解集是（1，5），求實(shí)數(shù)a、b的值．

設(shè)函數(shù)f（x）=mx³-3x+n，m，n∈R
（Ⅰ）已知f（x）在區(qū)間（m，+∞）上遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x∈[0，n-2]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，求n的最大值及此時(shí)m的值．

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)于n∈N^*，總有a_n，

2Sn

，a_n+1成等比數(shù)列，a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意給定的正整數(shù)m（m≥2），作數(shù)列{b_n}，使b₁=a₁，且

bn+1

bn

=

m-n

an+1

（n=1，2，…，m-1），求b₁+b₂+…+b_m；
（3）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

1

2

≤T_2n-T_n＜

3

4

（n∈N^*）．

已知函數(shù)f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=7x-20，求a、b的值；
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且|x₁|+|x₂|=2，試用a表示b²；
（3）求證：|b|≤

4 3

9

．

已知函數(shù)y=cos²（

π

4

x+

π

3

）+sin（

π

3

x+

π

6

），求該函數(shù)的周期．

已知離心率分別為e₁、e₂的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個(gè)公共頂點(diǎn)為A、B，若P、Q分別為雙曲線C₂和橢圓C₁上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足

OP

=λ

OQ

（λ∈R，|λ|＞1）．如果直線AP、BP、AQ、BQ的斜率依次記為k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求證：e₁²+e₂²=2；
（2）求證：k₁+k₂+k₃+k₄=0．

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=a（a≠3，a∈R），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*
（Ⅰ）設(shè)b_n=S_n-3ⁿ ，n∈N^*，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a，n∈N^*，求a的取值范圍．

在△ABC中，∠C=90°，則cos²A+cos²B=1，用類比的方法猜想三棱錐的類似性質(zhì)，并證明你的猜想．