如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F(xiàn)為棱AA₁上的動點，A₁A=4，AB=AC=2．
（1）當F為A₁A的中點，求直線BC與平面BFC₁所成角的正弦值；
（2）當

AF

FA1

的值為多少時，二面角B-FC₁-C的大小是45°．

已知離心率為

1

2

的橢圓C₁的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，拋物線C₂：y²=4x的焦點為F₂，
（Ⅰ）求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）若過焦點F₂的直線l與拋物線C₂交于A，B兩點，問在橢圓C₁上且在直線l外是否存在一點M，使直線MA，MF₂，MB的斜率依次成等差數(shù)列，若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，求函數(shù)F（x）=f（x）+f（x-

π

3

）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再往上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[m，10π]上有20個零點：a₁，a₂，a₃，…，a₂₀，求實數(shù)m的取值范圍并求a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀的值．

一個口袋中裝有大小形狀完全相同的紅色球1個、黃色球2個、藍色球n（n∈N^*）個．現(xiàn)進行從口袋中摸球的游戲：摸到紅球得1分、摸到黃球得2分、摸到藍球得3分．若從這個口袋中隨機地摸出2個球，恰有一個是黃色球的概率是

8

15

．
（1）求n的值；
（2）從口袋中隨機摸出2個球，設ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，E為AC邊上的中點且2bcosB=ccosA+acosC．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面積S≥

3 3

2

，求BE的最小值．

已知點A（-1，0），B（1，0），P是平面上一動點，且滿足|

PB

|•|

AB

|=

PA

•

BA

．
（Ⅰ）設點P的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（Ⅱ）M是曲線C上的動點，以線段MB為直徑作圓，證明該圓與y軸相切；
（Ⅲ）已知點Q（m，2）在曲線C上，過點Q引曲線C的兩條動弦QD和QE，且QD⊥QE．判斷：直線DE是否過定點？試證明你的結(jié)論．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點M為PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BMD；
（2）若PD⊥平面ABCD，∠BCD=60°，∠ABD=30°，求證：AD⊥PB．

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+2）（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R為常數(shù)）．對于函數(shù)g（x），h（x），若存在常數(shù)k，b，對于任意x∈R，不等式g（x）≤kx+b≤h（x）都成立，則稱直線y=kx+b是函數(shù)g（x），h（x）的分界線．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的極值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設a=2，試探究函數(shù)g（x）=-x²+4x+2與函數(shù)f（x）是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由．

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，AB=1，AA₁=

6

2

，∠ABC=60°．證明：BD₁⊥平面AB₁C．

過橢圓C：

x2

25

+

y2

16

=1的右焦點F作直線交橢圓C于A、B兩點，已知AB=8，求直線AB的方程．