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如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2BB₁，沿平面C₁BD把這個長方體截成兩個幾何體：
（Ⅰ）設幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是V₁、V₂，求V₁與V₂的比值；
（Ⅱ）在幾何體（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

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如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，四邊形AA₁C₁C也為菱形且∠A₁AC=∠DAB=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）證明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；
（Ⅲ）在棱CC₁上是否存在點P，使得平面PDA₁和平面DA₁C₁所成銳二面角的余弦值為

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？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

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如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直線DH與平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角H-BD-C的大�。�

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已知ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

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如圖：三棱柱A₁B₁C₁-ABC，A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，AB=AC=1，A₁B=2，E是A₁B的中點．
（Ⅰ）若BC=

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，求證：平面ACE⊥平面A₁AB；
（Ⅱ）若∠CAB=120°，求二面角A₁-AE-C的余弦值．

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已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）證明：面BCN⊥面C₁NB₁
（2）求平面CNB₁與平面C₁NB₁所成角的余弦值．

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在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2．點E是線段AB上的動點，點M為D₁C的中點．
（1）當E點是AB中點時，求證：直線ME∥平面ADD₁A₁；
（2）若二面角A-D₁E-C的余弦值為

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．求線段AE的長．

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