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如圖1­5所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且ABBCBD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分別為ACDC的中點(diǎn).

(1)求證:EFBC;

(2)求二面角E­BF­C的正弦值.

圖1­5

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如圖1­6,四棱錐P ­ ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD.

圖1­6

(1)求證:ABPD.

(2)若∠BPC=90°,PBPC=2,問AB為何值時,四棱錐P ­ ABCD的體積最大?并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.

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如圖1­6所示,四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的所有棱長都相等,ACBDO,A1C1B1D1O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.

(1)證明:O1O⊥底面ABCD;

(2)若∠CBA=60°,求二面角C1­OB1­D的余弦值.

圖1­6

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在平面四邊形ABCD中,ABBDCD=1,ABBD,CDBD.將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖1­5所示.

(1)求證:ABCD;

(2)若MAD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.

圖1­5

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如圖1­3,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點(diǎn).在五棱錐P ­ ABCDE中,F為棱PE的中點(diǎn),平面ABF與棱PDPC分別交于點(diǎn)G,H.

(1)求證:ABFG;

(2)若PA⊥底面ABCDE,且PAAE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.

圖1­3

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 如圖1­5,四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四邊形ABCD為梯形,ADBC,且AD=2BC.過A1,CD三點(diǎn)的平面記為α,BB1α的交點(diǎn)為Q.

圖1­5

(1)證明:QBB1的中點(diǎn);

(2)求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比;

(3)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面積為6,求平面α與底面ABCD所成二面角的大。

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如圖1­4,在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中,E,FM,N分別是棱ABAD,A1B1A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動,且DPBQλ(0<λ<2).

(1)當(dāng)λ=1時,證明:直線BC1∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

圖1­4

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如圖1­3,四棱錐P­ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCDEPD的中點(diǎn).

(1)證明:PB∥平面AEC;

(2)設(shè)二面角D­AE­C為60°,AP=1,AD,求三棱錐E­ACD的體積.

圖1­3

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如圖1­3所示,四棱錐P­ABCD中,底面是以O為中心的菱形,PO⊥底面ABCDAB=2,∠BADMBC上一點(diǎn),且BM,MPAP.

(1)求PO的長;

(2)求二面角A­PM­C的正弦值.

圖1­3

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 已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是(  )

A.(-1,1,0)  B.(1,-1,0) 

C.(0,-1,1)  D.(-1,0,1)

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