4．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上，下頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，以A，B，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)構(gòu)造橢圓C₂，C₂的焦點(diǎn)在y軸上，記為F′₁、F′₂，再以F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)′₁，F(xiàn)′₂為頂點(diǎn)構(gòu)造橢圓C₃，C₃的焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓C₁的離心率的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

3．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B為正方形，BB₁C₁C為菱形，∠BB₁C₁=60°，平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅰ）求證：B₁C⊥AC₁；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是B₁C，AA₁的中點(diǎn)，試判斷直線EF與平面ABC的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）求二面角B-AC₁-C的余弦值．

2．設(shè)f（x）=nⁿ⁺¹，g（n）=（n+1）ⁿ，（n∈N^*）
（Ⅰ）判斷f（n）與g（n）的大小，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）若a_n=$\frac{1}{g（n）}$，b_n=2n-1，證明：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1．

1．如圖所示為一簡單組合體，其底面ABCD為直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，PD∥EC，PD=CD=2AD=2AB=2，CE=1
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若F為PC上的一點(diǎn)，試確定F的位置使得BF∥平面PAD；
（Ⅲ）求E到平面PBC的距離．

15．設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知$\frac{1}{3}$S₃•$\frac{1}{4}$S₄=（$\frac{1}{5}$S₅）²，$\frac{1}{3}$S₃與$\frac{1}{4}$S₄的等差中項(xiàng)為1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

14．已知D（X）=4，D（Y）=1，ρ_XY=0.6，求D（X+Y），D（3X-2Y）

13．求證：C${\;}_{n}^{0}$${C}_{n}^{1}$+${{C}_{n}^{1}}_{\;}^{\;}$${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}$${C}_{n}^{n}$=$\frac{（2n）!}{（n-1）!（n+1）!}$．

12．已知點(diǎn)A，B，C都在以原點(diǎn)O為圓心點(diǎn)的圓上，其中$\overrightarrow{OA}$=（-3，4），點(diǎn)B位于第一象限，點(diǎn)C為圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，若△BOC為正三角形．
（1）求cos∠AOC的值和△AOB的面積；
（2）記向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為θ，求cos2θ的值．

11．如圖，四邊形ABED是邊長為2的菱形，△CDE為正三角形，B，E，C三點(diǎn)共線，現(xiàn)將△ABD沿BD折起形成三棱錐A′-BCD．
（1）求證：A′E⊥BD；
（2）若平面A′BD⊥平面ABCD，求直線CD與平面A′BC所成角的正弦值．

10．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，D，E分別是AA₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥平面ACE；
（2）求點(diǎn)E到平面BCD的距離．