如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別在棱AA₁和CC₁上（含線段端點(diǎn)）．
（1）如果AE=C₁F，試證明B，E，D₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
（2）在（1）的條件下，是否存在一點(diǎn)E，使得直線A₁B和平面BFE所成角等于

π

6

？如果存在，確定E的位置；如果不存在，試說(shuō)明理由．

已知m，n是正數(shù)，證明：

m3

n

+

n3

m

≥m²+n²．

已知A是曲線ρ=12sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，B是曲線ρ=12cos(θ-

π

6

)上的動(dòng)點(diǎn)，試求線段AB長(zhǎng)的最大值．

已知直角坐標(biāo)平面xOy上的一個(gè)變換是先繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再作關(guān)于x軸反射變換，求這個(gè)變換的逆變換的矩陣．

過(guò)圓O外一點(diǎn)A作圓O的兩條切線AT、AS，切點(diǎn)分別為T、S，過(guò)點(diǎn)A作圓O的割線APN，證明：

AT2

AN2

=

PT•PS

NT•NS

．

設(shè)數(shù)列{a_n}是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，記Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，證明：對(duì)于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）對(duì)任意的n∈N^*，若T_n=0，證明：a_n是等差數(shù)列；
（3）若T_n=0，且a₁=0，a₂=1，數(shù)列b_n滿足bn=2an，由b_n構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列3，b₂，b₃，…，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n可以寫(xiě)成a^b，（a，b∈N，a＞1，b＞1），則稱S_n為“好和”．問(wèn)S₁，S₂，S₃，…，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，說(shuō)明理由．

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）²，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)G(a)=

F(a)

a

的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x²+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)m和t的值．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且過(guò)點(diǎn)P(2，

2

)，設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，橢圓的上頂點(diǎn)為B，直線AB被以原點(diǎn)為圓心的圓O所截得的弦長(zhǎng)為

4 5

5

．
（1）求橢圓E的方程及圓O的方程；
（2）若M是準(zhǔn)線l上縱坐標(biāo)為t的點(diǎn)，求證：存在一個(gè)異于M的點(diǎn)Q，對(duì)于圓O上任意一點(diǎn)N，有

MN

NQ

為定值；且當(dāng)M在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上．

如圖，△ABC為一個(gè)等腰三角形形狀的空地，腰CA的長(zhǎng)為3（百米），底AB的長(zhǎng)為4（百米）．現(xiàn)決定在空地內(nèi)筑一條筆直的小路EF（寬度不計(jì)），將該空地分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形的周長(zhǎng)相等、面積分別為S₁和S₂．
（1）若小路一端E為AC的中點(diǎn)，求此時(shí)小路的長(zhǎng)度；
（2）求

S1

S2

的最小值．

在菱形ABCD中，∠A=60°，線段AB的中點(diǎn)是E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，線段FC的中點(diǎn)是G．
（1）證明：直線BG∥平面FDE；
（2）判斷平面FEC和平面EBCD是否垂直，并證明你的結(jié)論．