（2012•泉州模擬）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=

a 2 -1 3

的一個特征值為1．
（Ⅰ）求矩陣M的另一個特征值；
（Ⅱ）設α=

3 2

，求M⁵α．

（2012•泉州模擬）設函數f（x）=ln|x|-x²+ax．
（Ⅰ）求函數f（x）的導函數f′（x）；
（Ⅱ）若x₁、x₂為函數f（x）的兩個極值點，且x1+x2=-

1

2

，試求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅲ）設函數f（x）在點C（x₀，f（x₀））（x₀為非零常數）處的切線為l，若函數f（x）圖象上的點都不在直線l的上方，試探求x₀的取值范圍．

（2012•泉州模擬）某工廠欲加工一件藝術品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長方體ABCD-EFGH材料切割成三棱錐H-ACF．

（Ⅰ）若點M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點，點G是NK上的任意一點，求證：MG∥平面ACF；
（Ⅱ）已知原長方體材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根據藝術品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高．
（i） 甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據公式h=AH•sinθ求出三棱錐H-ACF的高．請你根據甲工程師的思路，求該三棱錐的高．
（ii）乙工程師設計了一個求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運行該程序時乙工程師應輸入的t的值是多少？（請直接寫出t的值，不要求寫出演算或推證的過程）．

（2012•泉州模擬）如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓Γ：

x2

8

+

y2

4

=1相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線y=

1

4

x2的焦點．
（Ⅰ）試求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．

（2012•泉州模擬）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象，P，Q是這部分圖象與x軸的交點（按圖所示），函數圖象上的點R滿足：|RP|=

11

，|RQ|=3

3

，cos∠RPQ=

3 11

11

．
（Ⅰ）求函數f（x）的周期；
（Ⅱ）若P的橫坐標為1，試求函數y=f（x）的解析式，并求f(

4

3

)的值．

（2012•泉州模擬）已知等差數列{a_n}滿足a₂=5，且a₆=3a₁+a₄．
（Ⅰ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）從集合{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取3個不同的元素，其中偶數的個數記為ξ，求ξ的分布列和期望．