Question

16．美國(guó)科學(xué)家在2016年2月11日宣布，他們利用激光干涉引力波天文臺(tái)（LIGO）“探測(cè)到兩個(gè)黑洞合并時(shí)產(chǎn)生的引力波”，愛(ài)因斯坦在100年前的預(yù)測(cè)終被證實(shí)．兩個(gè)黑洞在合并的過(guò)程中，某段時(shí)間內(nèi)會(huì)圍繞空間某一位置以相同周期做圓周運(yùn)動(dòng)，形成“雙星”系統(tǒng)．設(shè)其中一個(gè)黑洞的線速度大小為v，加速度大小為a，周期為T(mén)，兩黑洞的總機(jī)械能為E，它們之間的距離為r，不計(jì)其他天體的影響，兩黑洞的質(zhì)量不變．下列各圖可能正確的是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 兩個(gè)黑洞靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，角速度相等，結(jié)合萬(wàn)有引力提供向心力得出兩個(gè)黑洞的軌道半徑之比，從而得出v、a及T與r的關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)萬(wàn)有引力定律可得$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$，則${m}_{1}^{\;}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{r}_{2}^{\;}$，因?yàn)閞₁+r₂=r，則${r}_{1}^{\;}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}r$，${r}_{2}^{\;}=\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}r$；根據(jù)$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$，則$v=\sqrt{\frac{G{m}_{2}^{2}}{r（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$，故v-r圖象不是線性關(guān)系，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}a$，解得$a=G\frac{{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}$，故a-r^-2是過(guò)原點(diǎn)的直線，故B正確；
C、根據(jù)$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}$解得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$，T與${r}_{\;}^{2}$不成正比，圖象是曲線，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$及$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{2}^{\;}}$，解得兩黑洞的總機(jī)械能為$E=\frac{1}{2}{m}_{1}^{\;}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}^{\;}{v}_{2}^{2}=G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{r}$，E與r不是線性關(guān)系，E與r成反比，圖象是雙曲線的一支，故D錯(cuò)誤；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道兩個(gè)黑洞具有相同的角速度，靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力大小相等，結(jié)合牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的基本知識(shí)進(jìn)行求解．